Блог команды "Антьешки" МБОУ Новлянская СОШ Селивановского района

Треугольник Паскаля

Числовой треугольник Паскаля — неисчерпаемый источник всевозможных математических радостей.

Это бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму.

В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.

Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси.

Назван в честь Блеза Паскаля.

Имеет применение в теории вероятностей.

Принцип построения треугольника Паскаля:

Свойства треугольника Паскаля:

Зависимость между коэффициентами в треугольнике Паскаля с арифметическими прогрессиями высших степеней.

1 зависимость

1. Рассмотрим 8 строку треугольника Паскаля:

1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

закономерность:

1.                2, 3 и 4 числа: 7,21,35 - образуют возрастающую арифметическую прогрессию, в которой а₁=7 и d=14;

2.                  5, 6 и 7 числа: 35, 21, 7- образуют убывающую арифметическую прогрессию с а₁=35 и d=-14.

Рассмотрим 15 строку треугольника Паскаля:

1,14,91,364,1001, 2002, 3003, 3432, 3003, 2002, 1001, 364, 91, 14,1

закономерность:

1.                  5, 6 и 7 числа: 1001, 2002, 3003 - образуют возрастающую арифметическую прогрессию с а₁=1001 и d=1001;

2.                9, 10, и 11 числа: 3003, 2002, 1001- образуют убывающую арифметическую прогрессию с а₁=1001 и d=-1001.

Итак:

1.  В этих строках сразу две прогрессии, которые составлены из одной и той же тройки чисел, т.к. треугольник Паскаля симметричен.

2. Таких строк в треугольнике Паскаля бесконечно много.

3. Нет ни одной строки, в которой была бы арифметическая прогрессия, состоящая из более трёх, идущих подряд членов.

2 зависимость (по диагонали)

1.      Вдоль второй диагонали треугольника расположены треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15, 21.., которые образуют арифметическую прогрессию 2-ого порядка.

2.    Третья диагональ треугольника Паскаля - тетраэдральные числа 1, 4, 10, 20, 35.., образующие арифметическую прогрессию 3-его порядка.

3. На 8-ой диагонали расположены числа 1,9,45,165,495,1287,3003,6435, 12870, 24310,…, образуют арифметическую прогрессию 8-ого порядка

На 12 также расположена арифметическая прогрессия, но 12 порядка

Итак:

На диагоналях треугольника Паскаля расположены числа, которые образуют арифметические прогрессии высших порядков.

Вывод: «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

М.Гарднер

Информация взята с сайтов: http://mech.math.msu.su/~shvetz/54/inf/perl-examples/PerlExamples_PascalTriangle.xhtml

http://kvant.mccme.ru/1980/11/arifmeticheskie_progressii_v_t.htm

Комментарии