Геометрическая прогрессия в задачах

Источник

Задача

Решение

Русские математические рукописи

«Было 40 городов, а во всяком городе по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 копей, а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей, ино много ли порознь будет?»

Дано: b₁=40

q=40

n=8

Найти: S_n

Решение:

S_n==672164025640

Ответ: 672164025640

Деревни древней Руси

Шли 7 старцев.

У каждого старца по 7 костылей.

На каждом костыле по 7 сучков.

На каждом сучке по 7 кошелей.

В каждом кошеле по 7 пирогов.

В каждом кошеле по 7 воробьев.

Сколько всего?

Дано: b₁=7

q=7

n =7

Найти: S_n

Решение:

S_n=19607

Ответ: 19607

Старинное решение

7+7*7+7*7*7+7*7*7*7+7*7*7*7*

=19607

Древнерусские задачи Магницкий Л.Ф. «Арифметика»

Проторговался ли купец?

Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

Дано: b₁=0,25

q=2

n=4*6=24

Найти: n

Решение:

S_n=4194303,75

Ответ: 42000 рублей

1795 год «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и управляющихся в Математике»

«Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д.. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран?»

Решение 1: Переведем в копейки 65535 копеек

Составим уравнение:

65535=1+2+4+8+…+2 ⁿ^-1 или

65536=2ⁿ

n =16

Ответ: 16 ран

Решение 2 Дано: b₁=1

q=2

S_n=65355

Найти: n

Решение:

S_n=65535

2 ⁿ=65536 n=16

Ответ: 16

Наше решение связанное с информатикой:

Читая задачу можно увидеть что она связана с алфавитным и содержательным подходами в измерении информации.

N=2ⁱ

65536=2¹⁶

Ответ: 16

Магницкий Л.Ф. «Арифметика»

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

Дано: b₁=1

q=0,5

S_n=3

Найти: n

Решение:

0,5ⁿ=-0,5

Ответ: ученик не дойдет до двери

Магницкий Л.Ф. «Арифметика»

Садовник продал 1 покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, 2 покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; 3 – половину оставшихся и ещё пол-яблока и так далее. 7 покупателю он продал половину оставшихся яблоки ещё пол- яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Дано: b₁=0,5

q=0,5

n =7

Найти: S_n

Решение:

S_n=127

Ответ: 127

Магницкий Л.Ф. «Арифметика»

Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно «достанет» до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м?

Дано:b₁=8

q=2

S_n=2³⁶

Найти: n

Решение:

2³⁶=2³⁺ ⁿ^-2³

2³³=2 ⁿ

n=33

Ответ: 33

Задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки? Проторговался ли купец?

Дано: b₁=1

q=2

n =30

Найти: S_n

Решение: купец заплатил

S_n=11000000

Мужик заплатил: 100000*30=3000000

УБЫТОК: 11000000-3000000=8000000

Ответ: 8000000 руб.

Источник

Задача

Решение

Мерзляк А.Г., Дидактические материалы 9 класс. М., «Вентана-Граф»2019, 126с

225.Число 162 является членом геометрической прогрессии Найти номер этого члена.

Дано: b₁=2/9

q=3

b_n=162

Найти: n

Решение:

162=2/9*n³^-1

n²=729

n=27

Ответ:27

Мордкович А.Г(«Мнемозина» 2021)

38.22 Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, если b₁=-5

q=-0,1

Дано:

b₁=-5

q=-0,1

Найти: S_n

Решение: q<1

S=4,(54)

Задача от "Антьешек"

На территории Новлянского поселения на берегу реки Ушна в 1898 году купец Зворыкин основал терочный завод по производству картофельного крахмала. До недавнего времени это было сильное, динамично развивающееся предприятие расположенное в живописных и экологически чистых лесах, вдали от шумных городов. Каждый год объем выпускаемого предприятием крахмала увеличивался.

Фото завода

Задача

Решение

В 1917 году Новлянский крахмало-паточный завод выпустил 6 тонн картофельного крахмала. Каждые пять лет при повышении производительности труда выпуск крахмала увеличивался в 4 раза. Найти в каком году количество выпущенного крахмала достигло 2046 тонн в год?

Дано: b₁=6

q=4

S_n=2046

Найти: n

Решение: